关键词：线性规划；对偶模型；资源；影子价格。
众所周知，利用线性规划的优化方法设计畜禽优化饲料配方时，如果取目标函数值为饲粮成本最小化时，则能有效地求出最低成本的最优配方。所谓的最低成本配方是在一组特定的约束条件下所获的结果。当这些约束条件包括原料的养分指标、预期达到的各种营养需要量、用量有限制的原料用量及原料价格等发生变化时，一般会影响到最终的吨粮成本。而配方设计师不能控制的是原料的质量和价格，能控制的则是配合饲料或蛋白浓缩料的营养指标和对应的饲粮成本，即所谓的产品的质量与成本控制。这对矛盾直接关系到饲料生产企业的效益，困扰着我国广大饲料加工企业。究其原因是多方面的。一个最主要的原因是我国现行的饲养标准与生产严重脱节所致。就单胃动物而言，我国猪、鸡饲养标准的颁布始于上个世纪80年代后期，而我国饲料工业与畜牧业生产经过了近20年长足的发展，尤其随着饲料与动物营养学研究的不断深入，对畜禽营养需要有了新的认识及新的参数指标，加之我国幅员辽阔，各地经济发展不平衡，导致了不同地域的畜牧业投入产出模式、生产规模迥异。因此，过去的饲养标准显然不能适应新的要求，应从考虑畜禽品种、畜牧业生产水平及养殖规模化程度等出发而设计不同的标准要求，以满足我国畜牧业生产的高端、中端甚至低端要求。
就我国饲料生产现状而言，广大的饲料生产企业依靠企业制定的标准从事配方设计与饲料生产。从全国范围看，饲料生产的无序局面严重，充斥市场的饲料产品质量良莠不齐，饲料安全问题屡有出现。特别随着主要原料如玉米、豆粕等价格波动，使配方师面临的挑战加大。如何能从配方设计技术上提供有效的手段让配方师去调和质量与成本的问题，是一个完整配方系统应该考虑的，需要在计算出最低成本配方的基础上，充分挖掘更多的辅助信息为设计者所用，以快速应对市场的变化。只有这样，才能使生产企业永远在激烈的市场竞争中立于不败之地。从优化理论上讲到上述的要求是可行的。本文主要就线性规划的配方模型所应的对偶模型理论问题、模型应用及其经济学含义作一些探讨。
1、方法与应用
1.1对偶线性规划问题的理论描述
一般情况下，我们可将原始的线性规划的配方模型问题描述为：
（1）：目标函数为饲粮成本最小化：mins=c1X1+c2X2+…+cnXn
约束方程组：
其中：决策变量Xi（i=1，2，…，n）代表参与计算的原料用量；ci（j=1，2，…，n）代表原料的价格；bi（i=1，2，…，m）为期望达到的各种养分指标；aij（i=1，2，…，m; j=1，2，…，n）代表不同原 料含不同养分的数量，即养分系数。由模型（I）派生的线性规划问题如下：
（II）：目标函数为：maxg=b1Y1+ b2Y2+…+ bmYm，约束方程组转换为：
我们称（II）线性规划问题为（I）的对偶问题。在对偶线性规划问题中，决策变量为Yi（i=1，2，…，m），为待求的资源bi（i=1，2，…，m）的"影子价格"或机会成本。为什么可以这样定义待在实例结果中说明。问题（II）的养分序数矩阵是问题（I）的逆矩阵。
从运筹学理论上可以证明，①问题（I）与问题（II）互为对偶问题；②若原始问题和对偶问题都可行，则两者均有最优解，且两者的最优解相同。
利用以上的对偶理论，在国家饲料数据中心网络远程配方系统中增加了对偶模型的生成与应用模块，并将计算的参与优化计算的养分指标的"影子价格"附加到输出结果中。以下通过一个事例说明对偶模型的建立及应用，尤其是计算结果所揭示的实际意义。
1.2对偶线性规划模型的应用举例
以计算一个典型的肉仔鸡全价料为例，选用的饲养标准为0～3周龄肉仔鸡的营养需要量，所采用的原料有玉米、大豆粕、棉籽粕、鱼粉、磷酸氢钙、石粉、蛋氨酸、赖氨酸、食盐、玉米油及预混料等11种。在给出原料价格、用量限制并按线性规划原理由系统生成的原配方模型列表1中。
Table 1.Typicalformulating model oflinear programming for broiler (0～3-week)
为了统一行约束方式为"≥"或"="，便于转换为对偶线性规划问题，在表1中倒数第2、3行出现负的目标值属于正常。配方模型的目标函数为：
minC=1.02*X1+1.95*X2+0.96*X3+4.2*X4+1.35*X5+0.12*X6+21*X7+15*X8+0.6*X9+3.95*X10+8*X11
其中：待求的各种原料的最佳添加比例Xi（i=1，2，…，11）前的系数为原料的价格（元/千克）。
按对偶理论模型形成的表1对应的线性规划模型列在表2中。
Table 2 Dual linear programming model based on Table 1
如表2表示，最后一行黑体数据表示决策变量即影子价格Yi（i=1，2，…，N）的系数。
对表1和表2所示线性规划问题分别利用单纯形算法求解，表1的求解结果为最低成本的最优配方并列在表3中，表2的求解结果为参与优化的养分项目及用量有限制的原料的"影子价格"并列在表4中。
Table3 Feed formula of basal diet and protein concentrate for boiler(0～3-week)
表3第3列为优化出的基础料最优配方，最低成本为1512.8（元/吨）（未列出）。在这里还演示了如何科学配制指定比例的蛋白浓缩料的方法：在基础料配方基础上，可以将60%的玉米由使用蛋白浓缩料的用户添加，余下40%的其他原料制作蛋白浓缩料，转化为100%的比例列在表3中第6列，对应的浓缩料吨成本为2252.02（元/吨）。
Table4. Diagnostic values of optimized formula in Table 3 and shadow prices of nutrients resources
如表4所示，最后一列显示的数据是表2所示对偶问题的最优解。由于原始线性规划往往用来求资源的最优配置问题，或者是求解资源的最优利用问题，而对偶问题则是如何恰当地估计资源bj（j=1，2，…，n）的用价问题。既然按经济学上定义模型（I）或模型（II）中的bj（j=1，2，…，n）值为资源，则意味着线性规划配方模型中，"资源"是指那些参与优化计算的养分项目或用量有限制（统一转化为≥或=）的原料,而对偶模型（II）求解结果Yj(j=1，2，…，n)则是依次对应"资源" bj（j=1，2，…，n）"的影子价格"。所以求解一般配方模型的对偶模型就是求解特定"资源"的"影子价格"。"影子价格"能够反映资源的机会成本，是隐含着能使特定目标的成本函数（或收益函数）最小（或最大）化的投入或产出的替换比率的一种价格。从经济上讲，某资源的影子价格，是对每单位该资源在特定条件下最优配置时所获得边际效益的估价。根据以上分析，可以认为，由对偶配方模型获得的资源影子价格揭示的含义为：当提高或降低参与计算并希望最终达到的养分指标如配合饲料的代谢能、蛋白质或氨基酸等单位数量时，所产生的对在满足新的约束条件下得到的最优配方的最低成本的影响程度。某影子价格的值越大，表明其对配方的最低成本影响也越大，预示着该养分指标的实现越困难。当然求得的影子价格值是相对值而非绝对值。本例影子价格结果表明，参与优化的营养指标达标由难到易分别为：鸡代谢能(21.69)>蛋氨酸+胱氨酸(21.21)>有效磷(7.68)>粗蛋白质(2.61)>食盐(0.61)>钙(0.34)>总磷或赖氨酸(0)。影子价格为"0"的养分指标是指其在特定取值范围内，该指标的达成对目标函数值不构成影响。如本例中期望最终配合饲料的总磷及赖氨酸含量达到0.65%和1.09%，但求得的最优配方实际达成为0.69%和1.12%，表明这两项指标的实现是在满足其他难以满足的指标时附带上去的，所以其影子价格为零。值得注意的是，资源影子价格不是固定不变的，会随着各种养分指标的消长而发生位置的更换，或不构成影响的资源变成有影响的。如同人们熟悉的限制性氨基酸顺序的变化。
2、讨论
由于我国目前尚无完整的、切实可行的猪、禽饲料标准作为参考，指导我国数以万计的饲料加工企业从事配方设计，在既要确保产品质量稳定，又要追求生产企业效益最大化及成本最小化的双重压力下，配方设计师经常无所适从。因此在配方软件设计系统中提供多种方法辅助以求解成本最小化的线性规划问题是非常必要的。在原线性规划的配方模型上引入其对偶线性规划问题并求得参与优化计算的养分指标即资源的影子价格，能够从量上指导配方设计师如何有针对性调整饲养标准，达到快速有效降低饲粮成本的目的。当然对最终养分指标的调整还要注意养分平衡，不能顾此失彼，得不偿失。由于一组资源的影子价格是在特定时空约束下的结果，因此还必须给出资源影子价格的有效区间，体现影子价格的相对稳定性。
尽管资源影子价格的引入增加了计算结果的透明度，但是还不能全面满足进行深层次配方设计的需求。在一般的线性规划配方模型的基础上，还可利用数学规划的理论对原料价格的变动做灵敏度区间分析，获得保持原有配方不变时，各种原料价格的可变动范围，指导原料采购部门合理采购原料。其次，当线性规划的配方模型的养分系数即养分含量在一定范围内发生变化时，如何制约配方计算结果的变化？或配方不变时，究竟对配方的使用效果会带来多大的不稳定性？如何进行有效质量控制等，则需要通过较复杂的参数线性规划模型来解决。最后，当一个生产企业在一定的时期内，所动用的资金是有限的，能够采购到的各种原料的种类及数量也是有制约的；同时按计划需要生产不同数量、不同品种的饲料产品，这就存在一个从整体上规划各种产品配方设计，保证整体效益最大化的多配方优化设计问题。显然，不考虑总体限制因素按成本最小化求得的一个局部最优配方投入生产，不能保证系统效益的最大化。因为涉及的可变因素较多，所以多配方优化设计问题是我国大型饲料生产企业的决策技术难题。采用优化技术实现多配方优化设计以及最大效益配方设计应成为我国配方系统设计者今后长期的研究方向。
References
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